函數(shù)f(x)=(1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…-
x2012
2012
+
x2013
2013
) cos2x在區(qū)間[-3,3]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(  )
分析:先將原函數(shù)分解成兩個(gè)函數(shù)g(x)=1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…-
x2012
2012
+
x2013
2013
和y=cos2x的積,分別計(jì)算這兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).前面的用導(dǎo)數(shù)證明是單調(diào)增,且f(-3)f(3)<0,所以必有一個(gè)零點(diǎn);后面一個(gè)函數(shù)y=cos2x的零點(diǎn)是四個(gè),從而得出答案.
解答:解:設(shè)g(x)=1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…-
x2012
2012
+
x2013
2013
,則g′(x)=1-x+x2-x3+…+x2012=
1+x2013
1+x
,
在區(qū)間[-3,3]上,
1+x2013
1+x
>0,故函數(shù)g(x)在[-3,3]上是增函數(shù),
由于g(-3)式子中右邊x的指數(shù)為偶次項(xiàng)前為負(fù),奇數(shù)項(xiàng)前為正,結(jié)果必負(fù),即g(-3)<0,
且g(3)=1+3+(-
x2
2
+
x3
3
)+(-
x4
4
+
x5
5
)+…+(-
x2012
2012
+
x2013
2013
)>0,
故在[-3,3]上函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).
又y=cos2x在區(qū)間[-3,3]上有四個(gè)零點(diǎn),且與上述零點(diǎn)不重復(fù),
∴函數(shù)f(x)=(1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…-
x2012
2012
+
x2013
2013
)cos2x在區(qū)間[-3,3]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1+4=5.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
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2x4x+1
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a≥2
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