Question

19．如圖所示，四邊形ABCD為菱形，AF=2，AF∥DE，DE⊥平面ABCD．
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）當(dāng)DE為何值時(shí)，直線AC∥平面BEF？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥平面ABCD，可得DE⊥AC，四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥DB．利用線面垂直的判定定理即可證明．
（2）當(dāng)DE=4時(shí)直線AC∥平面BEF．證明四邊形AOMF是平行四邊形，所以AC∥FM，即可得出直線AC∥平面BEF．

解答 （1）證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥DE；…（2分）
菱形ABCD中，AC⊥BD，
因?yàn)镈E∩BD=D，所以AC⊥平面BDE．…（5分）
（2）解：當(dāng)DE=4時(shí)直線AC∥平面BEF．理由如下：…（7分）
設(shè)菱形ABCD中對(duì)角線AC∩BD=O，BE的中點(diǎn)為M，則OM為△BDE的中位線，OM∥DE且OM=$\frac{1}{2}DE$；…（9分）
又AF∥DE且$AF=\frac{1}{2}DE=2$，即AF∥OM且AF=OM，得四邊形AOMF是平行四邊形，所以AC∥FM；…（11分）
因?yàn)锳C?平面BEF，F(xiàn)M?平面BEF，所以直線AC∥平面BEF．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、平行的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．