Question

設函數f（x）=

log2|x-1|   (x≠1) 2        (x=1)

，若關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0（b，c∈R）恰有5個不同的實數解x_i（i=1，2，3，4，5），則f（

5

i=1

x_i）的值為（　�。�

• A、8
• B、5
• C、4
• D、2

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：設t=f（x），作出函數f（x）的圖象，根據關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5個不同的實數解，得到t的取值情況，利用對稱性，即可求出結論．

解答： 解：設t=f（x），則關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0等價為t²+bt+c=0，
作出f（x）的圖象如圖：
由圖象可知當t=2時，方程f（x）=2有三個根，當t≠2時方程f（x）=t有兩個不同的實根，
∴若關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5個不同的實數解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
則等價為t²+bt+c=0有兩個根，一個根t=2，
另外一個根t≠2，
不妨設x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
對應的兩個根為x₁與x₅，x₁與x₂，分別關于x=1對稱，
則x₃=1，
則x₁+x₅=2，且x₂+x₄=2，
則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2+2+1=5，
則f（

5

i=1

x_i）=f（5）=log₂|5-1|=log₂4=2，
故選：D

點評：本題主要考查方程根的個數的應用，利用換元法將方程轉化為一元二次方程，根據一元二次方程根的分布是解決本題的關鍵，利用數形結合是解決本題的基本思想．本題的質量相當高．