Question

如圖,在長方體OAEB—O₁A₁E₁B₁中,|OA|=3,|OB|=4,|OO₁|=2,點P在棱AA₁上,且|AP|=2|PA₁|,點S在棱BB₁上,且|SB₁|=2|BS|,點Q,R分別是棱O₁B₁,AE的中點.

求證:PQ∥RS.

Answer 1

分析：利用向量證明PQ∥RS,只需建立適當?shù)淖鴺讼?表示出,的坐標,然后利用共線向量定理判定向量共線,從而得到直線平行.

證明：如圖,建立空間直角坐標系O—xyz.

則A(3,0,0),B(0,4,0),O₁(0,0,2),A₁(3,0,2),B₁(0,4,2).

因為|PA|=2|PA₁|,|SB₁|=2|BS|,Q,R分別是棱O₁B₁,AE的中點,所以P(3,0,),Q(0,2,2,),R(3,2,0),S(0,4,).

所以=(-3,2,)=.

所以∥.

因為RPQ,所以PQ∥RS.

點撥：利用向量坐標運算證明線線平行時,(1)需證明兩向量共線;(2)證明其中一個向量所在直線上一點不在另一個向量所在的直線上.