Question

假設(shè)p、q都是奇數(shù),求證:關(guān)于x的方程x²+px+q=0無整數(shù)根.

      

Answer 1

思路分析:此題中含有否定詞“無”,可考慮用反證法,另外關(guān)于有無整數(shù)根,可從已知方程的判別式與根和系數(shù)的關(guān)系入手分析證明之.?

       證法一:只有在Δ=p²-4q=(p-m)²時〔(p-m)²表示完全平方數(shù),其中由-4q=-2pm+m²可知m應為偶數(shù)〕才可能有整數(shù)根.化簡上式得出p與q的關(guān)系:q=p·-()²,因p是奇數(shù),不論是怎樣的整數(shù),都可得q為偶數(shù),這與已知q為奇數(shù)相矛盾,則判別式Δ的值不會是一個完全平方數(shù),故方程無整數(shù)根.?

       證法二:假設(shè)方程有整數(shù)根α,無論α是奇數(shù)還是偶數(shù),都必有α²+pα+q為奇數(shù),這與

α²+pα+q=0矛盾.故方程無整數(shù)根.