Question

設(shè)集合A={0，2，4，6}，B={1，3，5，7}，從集合A，B中各取2個(gè)元素組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．
（1）可組成多少個(gè)這樣的四位數(shù)？
（2）有多少個(gè)是2的倍數(shù)或是5的倍數(shù)？

Answer 1

分析：（1）若這個(gè)四位數(shù)中沒有0，則這樣的四位數(shù)共有

C

2 3

•

C

2 4

•

A

4 4

個(gè)，若這個(gè)四位數(shù)中有0，則這樣的四位數(shù)共有

C

1 3

•

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

個(gè)，再把求得的這兩個(gè)數(shù)相加，
即得所求．
（2）是2的倍數(shù)的數(shù)即偶數(shù)，按此偶數(shù)中沒有0，和這個(gè)偶數(shù)中有0兩種情況，分別求得偶數(shù)的個(gè)數(shù)，相加可得是2的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)．再根據(jù)是5的倍數(shù)的數(shù)，
末位是0或5，求得末位是0的數(shù)的個(gè)數(shù)，求得末尾5的數(shù)的個(gè)數(shù)，可得是5的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)．再把是2的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)與是5的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)相加，即得所求．

解答：解：（1）若這個(gè)四位數(shù)中沒有0，則這樣的四位數(shù)共有

C

2 3

•

C

2 4

•

A

4 4

=432個(gè)，
若這個(gè)四位數(shù)中有0，則先把0放到除首位外的其它位上，故這樣的四位數(shù)共有

C

1 3

•

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

=324個(gè)，
故所有的四位數(shù)共有432+324=756 個(gè)．
（2）①是2的倍數(shù)的數(shù)即偶數(shù)，若此偶數(shù)中沒有0，則這樣的偶數(shù)共有

C

2 3

•

C

2 4

•

C

1 2

•

A

3 3

=216個(gè)．
若這個(gè)偶數(shù)中有0，則有

C

1 3

•

C

2 4

種選法，且0應(yīng)排在個(gè)位或者是中間2個(gè)位上，不能排在首位．
當(dāng)0排在個(gè)位，這樣的偶數(shù)共有

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

=108個(gè)；
當(dāng)0排在中間位，則另一個(gè)偶數(shù)在個(gè)位上，有

C

1 3

•

C

2 4

•

A

1 2

•

A

2 2

=72個(gè)，
故有0的偶數(shù)公有108+71=180 個(gè)．
綜上，是2的倍數(shù)的共有216+180=396個(gè)．
②是5的倍數(shù)的數(shù)，末位是0或5，
若末位是0，則有

C

1 3

•

C

2 4

•

A

3 3

=108個(gè)，
若末位是5 且這個(gè)四位數(shù)中沒有0，則有

C

2 3

•

C

1 3

•

A

3 3

=54個(gè)，
若末位是5 且這個(gè)四位數(shù)中有0，則有

C

1 3

•

C

1 3

•

C

1 2

•

A

2 2

=36個(gè)，
綜上可得，是5的倍數(shù)的數(shù)共有108+54+36=198 個(gè)．
故是2的倍數(shù)或是5的倍數(shù)的共有396+198=594個(gè)．

點(diǎn)評：題主要考查排列與組合及兩個(gè)基本原理的應(yīng)用，注意特殊元素和特殊位置，要優(yōu)先考慮，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．