設函數(shù)f(x)的定義域為R，當x＞0時，f(x)＞1，且對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．

(Ⅰ)求證：f(0)＝1；

(Ⅱ)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；

(Ⅲ)設集合A＝{(x，y)|f(x2)·f(y2)＜f(1)}，B＝{(x，y)|f(x＋y＋c)＝1，c∈R}，若A∩B＝，求c的取值范圍．

答案：
解析：

 　　(Ⅰ)證明：為使f(x＋y)＝f(x)·f(y)中出現(xiàn)f(0)，設x＝0，y＝1

　　(Ⅰ)證明：為使f(x＋y)＝f(x)·f(y)中出現(xiàn)f(0)，設x＝0，y＝1．

　　則f(0＋1)＝f(0)·f(1)，∴f(1)＝f(0)·f(1)，∵x＞0時，f(x)＞1，

　　∴f(1)＞1，∴f(0)＝1．

　　(Ⅱ)證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2－x1＞0，

　　f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)·f(x2－x1)，∵f(x2－x1)＞1，

　　若x1＞0則f(x1)＞1＞0；若x1＝0則f(x1)＝1＞0；

　　當x1＜0時，有f(x1)·f(－x1)＝f(x1－x1)＝f(0)＝1．

　　又∵f(－x1)＞1，∴0＜f(x1)＜1，∴對一切x1∈R，有f(x1)＞0，

　　∴f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)＞f(x1)，故命題得證．

　　(Ⅲ)∵f(x2)·f(y2)＜f(1)，∴f(x2＋y2)＜f(1)，∴x2＋y2＜1．

　　B：由單調(diào)性知f(x＋y＋c)＝f(0)，∴x＋y＋c＝0．

　　∵A∩B＝，∴由圖形分析知：只要圓x2＋y2＝1與直線x＋y＋c＝0相離或相切，

　　∴≥1，∴c≥或c≤－．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2004年高考教材全程總復習試卷·數(shù)學 題型：044

設函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)

(1)當a＝2時，求f(x)的最小值．

(2)當0＜a＜1時，判斷f(x)的單調(diào)性，并寫出f(x)的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2004全國各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學 題型：044

設函數(shù)f(x)＝x2－2mx＋m2＋1(m∈R+)，g(x)＝x＋(k∈R+)．

(1)當x∈(0，∞)時，f(x)和g(x)都滿足：存在實數(shù)a，使f(x)≥f(a)，g(x)≥g(a)且f(a)＝g(a)－m．求f(x)和g(x)的表達式；

(2)(文科不做、理科做)對于(1)中的f(x)，設實數(shù)b滿足|x－b|＜1．

求證：|f(x)－f(b)|＜2|b|＋5．

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科目：高中數(shù)學 來源：2004全國各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學 題型：044

設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)

(1)若f(－1)＝0，則對任意實數(shù)均有f(x)≥0成立，求f(x)的表達式．

(2)(文)在(1)的條件下，當x∈[－2，2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

(理)在(1)的條件下，當x∈[－2，2]時，g(x)＝xf(x)－kx是單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2004年高考教材全程總復習試卷·數(shù)學 題型：044

設函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋lg|a＋1|(a≠－1，a∈R)

(1)求證：f(x)能表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)之和，并求出g(x)和h(x)的表達式．

(2)若f(x)和g(x)在區(qū)間[|a＋1|，a2]上均為減函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學（學生用書） 題型：044

設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)

(1)若f(－1)＝0，則對任意實數(shù)均有f(x)≥0成立，求f(x)的表達式．

(2)在(1)條件下，當x∈[－2，2]，g(x)＝xf(x)－kx單調(diào)遞增，求實數(shù)k的取值范圍．

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