Question

已知橢圓W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為-1，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓W的方程．
（Ⅱ）設斜率為k的直線l與W相交于A，B兩點，記△AOB面積的最大值為S_k，證明：S₁=S₂．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）利用橢圓的標準方程及其性質、斜率計算公式即可得出；
（II）設直線l的方程為y=kx+m，其中k=1或2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得關于x的一元二次方程及根與系數(shù)的關系，進而得到弦長|AB|，利用點到直線的距離公式可得原點到直線l的距離，利用三角形的面積計算公式和基本不等式即可得出．

解答： （Ⅰ）解：由題意得橢圓W的半焦距c=1，右焦點F（1，0），上頂點M（0，b），
∴直線MF的斜率為kMF=

b-0

0-1

=-1，
解得 b=1，
由 a²=b²+c²，得a²=2，
∴橢圓W的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：設直線l的方程為y=kx+m，其中k=1或2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由方程組

y=kx+m x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴△=16k²-8m²+8＞0，（*）
由韋達定理，得x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

．
∴|AB|=

1+k2

( -4km 1+2k2 )2-4× 2m2-2 1+2k2

=

1+k2

1+2k2

8(2k2-m2+1)

．
∵原點O到直線y=kx+m的距離d=

|m|

1+k2

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|•d=

2

1+2k2

m2(2k2-m2+1)

≤

2

1+2k2

×

m2+2k2-m2+1

2

=

2

2

，
當且僅當m²=2k²-m²+1，即2m²=2k²+1時取等號．
與k的取值無關系，因此S₁=S₂．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得關于x的一元二次方程及根與系數(shù)的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式和基本不等式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．