Question

12．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，它的一個頂點恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點．
（I）求橢圓C標準方程；
（Ⅱ）直線x=2，與橢圓交于P，Q兩點，A，B是橢圓上位于直線x=2兩側的動點．
①若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的最大值；
②當動點A，B滿足∠APQ=∠BPQ時，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點為$（0，2\sqrt{3}）$．由題意可設橢圓的標準方程可得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則b=2$\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯立解出即可得出．
（II）①把x=2代入橢圓方程可得：|PQ|=6．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線AB的方程為：y=$\frac{1}{2}$x+t，代入橢圓方程可得：x²+tx+t²-12=0，△＞0．|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．四邊形APBQ面積S=$\frac{1}{2}×$6×|x₁-x₂|，利用二次函數的單調性即可得出四邊形APBQ面積S取得的最大值．
②當∠APQ=∠BPQ時，直線PA，PB的斜率之和為0．設直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為-k．直線PA的方程為：y-3=k（x-2），與橢圓方程聯立化為：（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，利用根與系數的關系可得x₁+2，同理PB的直線方程為：y-3=-k（x-2），可得x₂+2．利用斜率計算公式可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．

解答 解：（I）拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點為$（0，2\sqrt{3}）$．
由題意可設橢圓的標準方程可得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則b=2$\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=4，c=2．
∴橢圓C標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（II）①把x=2代入橢圓方程可得：$\frac{4}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，解得y=±3．∴|PQ|=6．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線AB的方程為：y=$\frac{1}{2}$x+t，代入橢圓方程可得：x²+tx+t²-12=0，
由△＞0，可得：-4＜t＜4．
∴x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-12．
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{48-3{t}^{2}}$．
∴四邊形APBQ面積S=$\frac{1}{2}×$6×|x₁-x₂|=3$\sqrt{48-3{t}^{2}}$．
當t=0時，四邊形APBQ面積S取得最大值12$\sqrt{3}$．
②當∠APQ=∠BPQ時，直線PA，PB的斜率之和為0．設直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為-k．
直線PA的方程為：y-3=k（x-2），聯立$\left\{\begin{array}{l}{y-3=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$．，化為：（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，
∴x₁+2=$\frac{8k（2k-3）}{3+4{k}^{2}}$，
同理PB的直線方程為：y-3=-k（x-2），可得x₂+2=$\frac{8k（2k+3）}{3+4{k}^{2}}$．
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-48k}{3+4{k}^{2}}$，
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）+3+k（{x}_{2}-2）-3}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴直線AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了拋物線與橢圓的標準方程及其性質、直線橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式、斜率計算公式、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．