Question

9．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}+b（a＞0）$是奇函數(shù)．
（1）若點(diǎn)Q（1，3）在函數(shù)f（x）的圖象上，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不要解答過程，只寫結(jié)果）；
（3）設(shè)點(diǎn)A（t，0），B（t+1，0）（t∈R），點(diǎn)P在f（x）的圖象上，且△ABP的面積為2，若這樣的點(diǎn)P恰好有4個，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）+f（-x）=0恒成立，可得b=0．Q（1，3）在函數(shù)f（x）的圖象上，可得a=2即可．
（2）由對勾函數(shù)圖象可得；
（3）在f（x）的圖象上恰好有4個點(diǎn)，使△ABP的面積為2?在f（x）的圖象上恰好有4個點(diǎn)到橫軸的距離等于4，即f（x）_min＜4，2$\sqrt{a}$＜4，解得a．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}+b（a＞0）$是奇函數(shù)，則f（x）+f（-x）=0恒成立，即x+$\frac{a}{x}+b+（-x）+\frac{a}{-x}+b=0$⇒b=0．∴f（x）=x+$\frac{a}{x}$ （a＞0）．
∵Q（1，3）在函數(shù)f（x）的圖象上，∴1+a=3，∴a=2，∴f（x）=x+$\frac{2}{x}$．（x≠0）．
（2）f（x）=x+$\frac{a}{x}$ （a＞0）．的增區(qū)間為：（-∞，-$\sqrt{a}$），（$\sqrt{a}$，+∞）；減區(qū)間為：（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）．
（3）∵點(diǎn)A（t，0），B（t+1，0）（t∈R）在橫軸上，且AB=1，
∴在f（x）的圖象上恰好有4個點(diǎn)，使△ABP的面積為2?在f（x）的圖象上恰好有4個點(diǎn)到橫軸的距離等于4，
如圖所示，函數(shù)f（x）的圖象與y=4，y=-4各有兩個交點(diǎn)，即f（x）_min＜4，2$\sqrt{a}$＜4，解得0＜a＜4．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（0，4）．

點(diǎn)評 本題考查了對勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．