Question

19．一個算法的程序框圖如圖所示，則該程序輸出的結果為（　�。�

• A． $\frac{1}{100}$
• B． $\frac{1}{121}$
• C． $\frac{99}{100}$
• D． $\frac{120}{121}$

Answer 1

分析 模擬執(zhí)行程序框圖，可得程序框圖的功能是計算并輸出S=$\frac{3}{1×{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{2}×{3}^{2}}$+$\frac{7}{{3}^{2}×{4}^{2}}$+…+$\frac{21}{1{0}^{2}×1{1}^{2}}$的值，由裂項法即可計算得解．

解答 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得程序框圖的功能是計算并輸出S=$\frac{3}{1×{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{2}×{3}^{2}}$+$\frac{7}{{3}^{2}×{4}^{2}}$+…+$\frac{21}{1{0}^{2}×1{1}^{2}}$的值，
由于：$\frac{2i+1}{{i}^{2}•（i+1）^{2}}$=$\frac{i+（i+1）}{{i}^{2}•（i+1）^{2}}$=$\frac{1}{i（i+1）}$（$\frac{1}{i}$+$\frac{1}{i+1}$）=（$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+1}$）（$\frac{1}{i}$+$\frac{1}{i+1}$）=$\frac{1}{{i}^{2}}$-$\frac{1}{（i+1）^{2}}$，
所以：S=$\frac{3}{1×{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{2}×{3}^{2}}$+$\frac{7}{{3}^{2}×{4}^{2}}$+…+$\frac{21}{1{0}^{2}×1{1}^{2}}$
=（$\frac{1}{{1}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{1{0}^{2}}$-$\frac{1}{1{1}^{2}}$）
=$\frac{1}{{1}^{2}}$-$\frac{1}{1{1}^{2}}$
=$\frac{120}{121}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖，考查了裂項法求數(shù)列的和，屬于基礎題．