【題目】如圖,在六棱錐中,底面是邊長為的正六邊形,.

1)證明:平面平面;

2)若,求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2

【解析】

1)要證明面面垂直,需先證明線面垂直,設(shè),連結(jié),根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和條件,可證明平面;(2)首先證明,即、、兩兩互相垂直,以、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系(如下圖所示),分別求平面和平面的法向量 ,根據(jù)公式求解.

解:(1)設(shè),連結(jié).

在正六邊形中,根據(jù)對稱性中點,

,

又因為,所以.

,所以平面.

平面,所以平面平面.

2)在正六邊形中,

所以,.

又因為,所以.

因為,所以,即,

所以、兩兩互相垂直.

、所在的直線為軸、軸、

軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).

,,,

,,,

設(shè)平面的一個法向量為.

,解得,.

所以.

設(shè)平面的一個法向量為.

,解得.

所以.

因此.

因為二面角的平面角為鈍角,

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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參考公式及數(shù)據(jù):,其中.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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