Question

若a＞2，則方程

1

3

x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有（　　）

• A、0個(gè)根
• B、1個(gè)根
• C、2個(gè)根
• D、3個(gè)根

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令f（x）=

1

3

x³-ax²+1，利用導(dǎo)數(shù)法，結(jié)合a＞2，可得f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上為減函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程

1

3

x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有1個(gè)根．

解答： 解：令f（x）=

1

3

x³-ax²+1，
則f′（x）=x²-2ax，
∴a＞2，故當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0，
即f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上為減函數(shù)，
又∵f（0）=1＞0，f（2）=

11

3

-4a＜0，
故函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+1在（0，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程

1

3

x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有1個(gè)根，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，熟練掌握方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，及函數(shù)零點(diǎn)的存在定理是解答的關(guān)鍵．