Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+2n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n項和為T_n，證明：$\frac{3}{2}≤{T_n}$＜5．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，驗證a₁=S₁=3也滿足上式
可得數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）利用錯位相減法求出數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n項和 ${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}＜5$
又${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{2n+5}{2^n}-\frac{2n+7}{{{2^{n+1}}}}=\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}＞0$，得T_n關于n單調遞增，有${T_n}≥{T_1}=\frac{3}{2}$，即可得$\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

解答 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
又當n=1時，a₁=S₁=3也滿足上式
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1；
（2）證明：數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n項和為${T_n}=3×\frac{1}{2}+5×\frac{1}{2^2}+…+（2n+1）×\frac{1}{2^n}$，
                                       $\frac{1}{2}{T_n}=3×\frac{1}{2^2}+5×\frac{1}{2^3}+…+（2n-1）×\frac{1}{2^n}+（2n+1）×\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式錯位相減得$\frac{1}{2}{T_n}=3×\frac{1}{2}+2（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}）-\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{3}{2}+\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{5}{2}-\frac{2n+5}{{{2^{n+1}}}}$，
得${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}＜5$
又${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{2n+5}{2^n}-\frac{2n+7}{{{2^{n+1}}}}=\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}＞0$，故T_n關于n單調遞增，有${T_n}≥{T_1}=\frac{3}{2}$，
綜上，$\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項公式的求法，考查了錯位相減法求和及數(shù)列的單調性，屬于中檔題．