Question

在一定面積的水域中養(yǎng)殖某種魚(yú)類，每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量P是網(wǎng)箱個(gè)數(shù)x的一次函數(shù)，如果放置4個(gè)網(wǎng)箱，則每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量為24噸；如果放置7個(gè)網(wǎng)箱，則每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量為18噸，由于該水域面積限制，最多只能放置12個(gè)網(wǎng)箱．已知養(yǎng)殖總成本為50+2x萬(wàn)元．
（1）試問(wèn)放置多少個(gè)網(wǎng)箱時(shí)，總產(chǎn)量Q最高？
（2）若魚(yú)的市場(chǎng)價(jià)為1萬(wàn)元/噸，應(yīng)放置多少個(gè)網(wǎng)箱才能使每個(gè)網(wǎng)箱的平均收益最大？

Answer 1

（1）設(shè)p=ax+b，由已知得

24=4a+b 18=7a+b

，∴

a=-2 b=32

∴p=-2x+32
∴Q=px=（-2x+32）x=-2（x-8）²+128（x∈N₊，x≤12）
∴當(dāng)x=8時(shí)，f（x）最大
即放置8個(gè)網(wǎng)箱時(shí)，可使綜產(chǎn)量達(dá)到最大
（2）收益為y=（-2x²+32）×1-（50+2x）（x∈N₊，x≤12）
∴

y

x

=-2x-

50

x

+30（x∈N₊，x≤12）
∵2x+

50

x

≥20（當(dāng)且僅當(dāng)2x=

50

x

，即x=5時(shí)取等號(hào)）
∴y≤-20+30=10
即x=5時(shí)，y_max=10