Question

已知k∈R，設(shè)f（θ）=cos²θ+（k-4）sinθ+2k-9，其中θ∈[0，2π）．
（1）當(dāng)k=3時(shí)，求f（θ）的最值，并求相應(yīng)的θ；
（2）若對(duì)任意θ∈[0，2π），f（θ）≤0恒成立，求k的取值范圍；
（3）若存在唯一的θ∈[0，2π），使f（θ）≤0，求θ、k的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）首先對(duì)函數(shù)關(guān)系是進(jìn)行恒等變換然后根據(jù)自變量與對(duì)稱軸的關(guān)系求出函數(shù)的最值及相應(yīng)的自變量的值．
（2）f（θ）=-(sinθ-

k-4

2

)2+

k2-16

4

若對(duì)任意θ∈[0，2π），f（θ）≤0恒成立，只需滿足

k2-16

4

≤0即可，進(jìn)一步求出k的取值范圍．
（3）存在唯一的θ∈[0，2π），使f（θ）≤0，不但在（2）的基礎(chǔ)上，同時(shí)要滿足sinθ=

k-4

2

，由于-1≤sinθ≤1，-1≤

k-4

2

≤1，求出交集即可．

解答： 解：（1）∵f（θ）=cos²θ+（k-4）sinθ+2k-9，
當(dāng)k=3時(shí)，f（θ）=cos²θ-sinθ-3=-（sinθ+

1

2

）²-

7

4

，
當(dāng)sinθ=-

1

2

 即θ=

7π

6

或

11π

6

時(shí)，f(θ)max=-

7

4

，
當(dāng)sinθ=1時(shí) 即θ=

π

2

時(shí)，f（θ）_min=-4；
（2）∵f（θ）=cos²θ+（k-4）sinθ+2k-9=-sin²θ+（k-4）sinθ+2k-8
=-(sinθ-

k-4

2

)2+

(k-4)2

4

+2k-8=-(sinθ-

k-4

2

)2+

k2-16

4

，
若對(duì)任意θ∈[0，2π），f（θ）≤0恒成立，只需滿足

k2-16

4

≤0即可，
即：-4≤k≤4；
（3）由（2）得：f（θ）=-(sinθ-

k-4

2

)2+

k2-16

4

，
存在唯一的θ∈[0，2π），使f（θ）≤0，
則：sinθ=

k-4

2

 由于-1≤sinθ≤1，
-1≤

k-4

2

≤1，
解得：2≤k≤6；
聯(lián)立：-4≤k≤4，
∴2≤k≤4，
此時(shí)θ=arcsin

k-4

2

，
故答案為：（1）θ=

7π

6

或

11π

6

時(shí)，f(θ)max=-

7

4

，θ=

π

2

時(shí)，f（θ）_min=-4；
（2）-4≤k≤4；
（3）2≤k≤4，θ=arcsin

k-4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，二次函數(shù)一般式和頂點(diǎn)式的互化，二次函數(shù)的值域，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．