已知橢圓：（）上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)作直 線的垂線交橢圓于點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，過(guò)作動(dòng)直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，試證明點(diǎn)恒在一定直線上．

（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析；（3）證明詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）利用橢圓的定義、離心率的定義、的關(guān)系列出方程組，解得的值；（2）由右準(zhǔn)線方程設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直的充要條件得，表達(dá)出，將點(diǎn)代入橢圓中，即，代入中，化簡(jiǎn)得常數(shù)；（3）設(shè)出點(diǎn)，代入橢圓方程中，設(shè)，由得向量關(guān)系，得到與的關(guān)系，據(jù)與及與系數(shù)比為2:3，得在直線.
試題解析：（1）由題意可得，解得，，,
所以橢圓：．                                   2分
（2）由（1）可知：橢圓的右準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，
因?yàn)镻F2⊥F2Q，所以，
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ae/1/1an5o2.png" style="vertical-align:middle;" />且代入化簡(jiǎn)得．
即直線與直線的斜率之積是定值．                     7分.
（3）設(shè)過(guò)的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)
，則，．
設(shè)，則，
∴，，
整理得，，，
∴從而，
由于，，∴我們知道與的系數(shù)之比為2：3，與的系數(shù)之比為2：3．
∴，
所以點(diǎn)恒在直線上．                                  13分
考點(diǎn)：1.橢圓的定義；2.離心率的定義；3.垂直的充要條件.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知雙曲線(a＞0，b＞0)的離心率，過(guò)點(diǎn)A(0，－b)和B(a，0)的直線與原點(diǎn)的距離是．
（Ⅰ）求雙曲線的方程及漸近線方程；
（Ⅱ）若直線y＝kx＋5 (k≠0)與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)C、D，且兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線，點(diǎn)P（-1，0）是其準(zhǔn)線與軸的焦點(diǎn)，過(guò)P的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn).
（1）當(dāng)線段AB的中點(diǎn)在直線上時(shí)，求直線的方程；
（2）設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，當(dāng)A為線段PB中點(diǎn)時(shí)，求△FAB的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為A（－2，0），B（2，0），且其離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若N是直線x=2上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線AN與橢圓C交于點(diǎn)Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)B），求證：直線NM經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且雙曲線的漸近線與圓相切.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，是雙曲線的右支上的任意一點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位．已知直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，0<a<)，曲線C的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)a變化時(shí)，求|AB|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的最小值，并求此時(shí)圓的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn)，且直線分別與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，
求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，曲線與曲線相交于、、、四個(gè)點(diǎn).
⑴ 求的取值范圍；
⑵ 求四邊形的面積的最大值及此時(shí)對(duì)角線與的交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求（為原點(diǎn)）面積的最大值.

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