Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax³+|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）若a=-1，求函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）方程f（x）=x⁴有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)于任意的x₁∈[a，a+1]，都存在x₂∈[a+1，+∞]，使得f（x₁）f（x₂）=1024，求滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）=x⁴，此方程等價(jià)于x=a或$\left\{\begin{array}{l}{x＞a}\\{x=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜a}\\{x=-1}\end{array}\right.$，分類討論，即可討論方程f（x）=x⁴的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，即可得到答案
（Ⅲ）確定函數(shù)f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＞f（a）=a⁴＞0，對(duì)任意的x₁∈[a，a+2]，都存在x₂∈[a+2，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，所以[$\frac{1024}{f（a+1）}$，$\frac{1024}{f（a）}$]⊆[f（a+1），+∞），即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1，x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=-x³+x+1，從而f′（x）=-3x²+1=-3（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以f（x）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上為單調(diào)遞增，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）由f（x）=x⁴，即ax³+|x-a|=x⁴，
所以x⁴-ax³=|x-a|，從而x³（x-a）=|x-a|，
此方程等價(jià)于x=a或$\left\{\begin{array}{l}{x＞a}\\{x=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜a}\\{x=-1}\end{array}\right.$   
所以當(dāng)a≥1時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解a，-1，
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，方程有三個(gè)不同的解a，-1，1，
當(dāng)a≤-1時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解a，1，
綜上，當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，方程有三個(gè)不同的解a，-1，1；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0，x∈（a，+∞）時(shí)，f（x）=ax³+x-a，f′（x）=3ax²+1＞0，
所以函數(shù)f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＞f（a）=a⁴＞0．
所以當(dāng)x∈[a，a+1]，f（x）∈[a⁴，f（a+1）]，
當(dāng)x∈[a+1，+∞）時(shí)，f（x）∈[f（a+1），+∞），
所以$\frac{1024}{f（x）}$∈（0，$\frac{1024}{f（a+1）}$]
因?yàn)閷?duì)任意的x₁∈[a，a+1]，都存在x₂∈[a+1，+∞），使得f（x₁）f（x₂）=1024，
從而$\frac{1024}{f（a+1）}$≥f（a+1），
所以f ²（a+1）≤1024，即f（a+1）≤32，也即a（a+1）³+1≤32，
因?yàn)間（a）=a（a+1）³+1為（0，+∞）單調(diào)遞增，
且g（1）=9≤32滿足，而g（2）=55≥32，不滿足題意，
所以a≥2時(shí)，均不滿足題意，
所以滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合為{1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．