Question

給出下列命題，其中正確的命題是

 

（把所有正確的命題的選項都填上）．
①函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
②在R上連續(xù)的函數(shù)f（x）若是增函數(shù)，則對任意x₀∈R均有f'（x₀）＞0成立；
③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
④若P為雙曲線x²-

y2

9

=1上一點，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線的左右焦點，且|PF₂|=4，則|PF₁|=2或6；
⑤如果（1+x+x²）（x-a）⁵（a為實常數(shù)）的展開式中所有項的系數(shù)和為0，則展開式中含x⁴項的系數(shù)為-5．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：常規(guī)題型,空間位置關(guān)系與距離,簡易邏輯,二項式定理

分析：①設(shè)（a，b）是函數(shù)y=f（x-2）圖象上的任意一點，說明點（a，b）關(guān)于直線x=2對稱的點（4-a，b）在y=f（2-x）的圖象上即可，
②舉反例f（x）=x³；
③側(cè)面都是等腰三角形時側(cè)棱也不一定都相等；
④由題意知，a=1，c=

10

，4＜1+

10

，則由|PF₂|=4，可得|PF₁|=4+2=6；故不正確；
⑤由題意可得（1+1+1²）（1-a）⁵=0，則a=1，從而求展開式中含x⁴項的系數(shù)為-

C

1 5

+

C

2 5

-

C

3 5

=-5．

解答： 解：①設(shè)（a，b）是函數(shù)y=f（x-2）圖象上的任意一點，
則點（a，b）關(guān)于直線x=2對稱的點（4-a，b）；
∵b=f（a-2），y=f（2-（4-a））=f（a-2）=b，
∴（4-a，b）在y=f（2-x）的圖象上，
∴函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
②不正確，例如f（x）=x³；
③不正確，側(cè)面都是等腰三角形時側(cè)棱也不一定都相等；
④由題意知，a=1，c=

10

，4＜1+

10

，
則由|PF₂|=4，
可得|PF₁|=4+2=6；故不正確；
⑤∵（1+x+x²）（x-a）⁵（a為實常數(shù)）的展開式中所有項的系數(shù)和為0，
∴（1+1+1²）（1-a）⁵=0，
則a=1，
則（1+x+x²）（x-1）⁵，
則展開式中含x⁴項的系數(shù)為-

C

1 5

+

C

2 5

-

C

3 5

=-5，故正確；
故答案為：①⑤．

點評：本題考查了命題的真假性的判斷，函數(shù)圖象對稱性的判斷，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，雙曲線的定義與應(yīng)用及二項展開式等，考點豐富，屬于難題．