Question

設(shè)f（x）=2a^x-5（a＞0且a≠1）在[-1，2]上的最大值為3
（1）求a的值；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，求f（x）在（-∞，0）上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)為指數(shù)類型的函數(shù)，分底數(shù)0＜a＜1和a＞1進(jìn)行討論在區(qū)間上的單調(diào)性，然后利用最值求參數(shù)a；
（2）利用（1）中條件求得a=2，代入函數(shù)解析式，得y=2×2^x-5，利用單調(diào)性求值域即可．

解答： 解：（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，2]內(nèi)是遞減函數(shù)，因此當(dāng)x=-1時(shí)，y取最大值，即2a^-1-5=3，解得a=

1

4

，
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y在區(qū)間[-1，2]內(nèi)是遞增函數(shù)，因此當(dāng)x=2時(shí)，y取最大值，即2a²-5=3，解得a=2，
綜上所述，a=

1

4

或2．
（2）由（1）可知，a＞1時(shí)，a=2，函數(shù)為y=2×2^x-5，且在（-∞，0）上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?∞，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性求最值的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題目．