Question

3．已知不等式|x²-3x-4|＜2x+2的解集為{x|a＜x＜b}．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若m，n∈（-1，1），且mn=$\frac{a}$，S=$\frac{a}{{{m^2}-1}}$+$\frac{{3（{{n^2}-1}）}}$，求S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)不等式的右邊分解因式，可得x+1＞0，且|x-4|＜2，由絕對(duì)值不等式的解法，可得a，b的值；
（Ⅱ）可得mn=$\frac{1}{9}$，S=$\frac{2}{{m}^{2}-1}$+$\frac{2}{{n}^{2}-1}$，運(yùn)用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$（a=b取得等號(hào)），以及a²+b²≥2ab（a=b取得等號(hào)），可得S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?|{{x^2}-3x-4}|＜2x+2?|{（{x+1}）（{x-4}）}|＜2（{x+1}）?\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\|{x-4}|＜2\end{array}\right.?2＜x＜6$，
所以a=2，b=6．
（Ⅱ）因?yàn)閍=2，b=6，所以$mn=\frac{1}{3}，S=\frac{2}{{{m^2}-1}}+\frac{2}{{{n^2}-1}}$．
由m，n∈（-1，1），可得1-m²＞0，1-n²＞0，
$S=-2（{\frac{1}{{1-{m^2}}}+\frac{1}{{1-{n^2}}}}）≤-4\sqrt{\frac{1}{{（{1-{m^2}}）（{1-{n^2}}）}}}=-4\sqrt{\frac{1}{{\frac{10}{9}-（{{m^2}+{n^2}}）}}}≤-4\sqrt{\frac{1}{{\frac{10}{9}-\frac{2}{3}}}}=-6$，
當(dāng)且僅當(dāng)$m=n=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時(shí)取等號(hào)，所以S_max=-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，注意運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和絕對(duì)值的性質(zhì)，考查最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．