Question

11．已知△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠BCA所對(duì)的邊分別為a，b，c，AD⊥BC且AD交BC于點(diǎn)D，AD=a，若$\frac{si{n}^{2}∠ABC+si{n}^{2}∠BCA+si{n}^{2}∠BAC}{sin∠ABC•sin∠BCA}$≤m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，即可求出m的取值范圍．

解答 解：如圖所示，

由正弦定理知，
$\frac{si{n}^{2}∠ABC+si{n}^{2}∠BCA+si{n}^{2}∠BAC}{sin∠ABC•sin∠BCA}$=$\frac{^{2}{+c}^{2}{+a}^{2}}{bc}$，
由三角形面積公式可得$\frac{1}{2}$bcsin∠BAC=$\frac{1}{2}$a•AD，
又AD=a，
所以bcsin∠BAC=a²，
由余弦定理得b²+c²=a²+2bccos∠BAC，
故$\frac{^{2}{+c}^{2}{+a}^{2}}{bc}$=2sin∠BAC+2cos∠BAC
=2$\sqrt{2}$sin（∠BAC+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$，
所以m≥2$\sqrt{2}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案為：[2$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．