Question

10．下列結(jié)論中，正確的有（　�。�
①不存在實(shí)數(shù)k，使得方程xlnx-$\frac{1}{2}$x²+k=0有兩個(gè)不等實(shí)根；
②已知△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且a²+b²=2c²，則角C的最大值為$\frac{π}{6}$；
③函數(shù)y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$與y=lntan$\frac{x}{2}$是同一函數(shù)；
④在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），左右頂點(diǎn)分別為A，B，若P為橢圓上任意一點(diǎn)（不同于A，B），則直線PA與直線PB斜率之積為定值．

• A． ①④
• B． ①③
• C． ①②
• D． ②④

Answer 1

分析 ①，函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²在定義域內(nèi)單調(diào)，不存在實(shí)數(shù)k，使得方程xlnx-$\frac{1}{2}$x²+k=0有兩個(gè)不等實(shí)根；
②，a²+b²=2c²≥2ab，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{c}^{2}}{2ab}≥\frac{1}{2}$則角C的最大值為$\frac{π}{3}$；
③，函數(shù)y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$與y=lntan$\frac{x}{2}$的定義域不同，不是同一函數(shù)；
④，設(shè)A（-a，0），B（a，0），P（m，n），則b²m²+a²n²=a²b²⇒a²n²=b²（a²-m²）⇒直線PA與直線PB斜率之積為$\frac{n}{m+a}•\frac{n}{m-a}=\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（定值）．

解答 解：對(duì)于①，函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²在定義域內(nèi)單調(diào)，不存在實(shí)數(shù)k，使得方程xlnx-$\frac{1}{2}$x²+k=0有兩個(gè)不等實(shí)根，正確；
對(duì)于②，∵a²+b²=2c²，∴a²+b²=2c²≥2ab，cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{c}^{2}}{2ab}≥\frac{1}{2}$，則角C的最大值為$\frac{π}{3}$，故錯(cuò)；
對(duì)于③，函數(shù)y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$與y=lntan$\frac{x}{2}$的定義域不同，不是同一函數(shù)，故錯(cuò)；
對(duì)于④，設(shè)A（-a，0），B（a，0），P（m，n），則b²m²+a²n²=a²b²⇒a²n²=b²（a²-m²）⇒直線PA與直線PB斜率之積為$\frac{n}{m+a}•\frac{n}{m-a}=\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（定值），故正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題．