9.已知函數(shù)$f(x)=\frac{2}{x}-{x^m}$,且$f(4)=-\frac{7}{2}$,
(1)求m的值;
(2)判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并給予證明.

分析 (1)根據(jù)$f(4)=-\frac{7}{2}$即可求出m=1;
(2)根據(jù)單調(diào)性定義,設(shè)任意的x1>x2>0,然后作差,通分,提取公因式,判斷f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系,從而得出f(x)的單調(diào)性.

解答 解:(1)$f(4)=\frac{2}{4}-{4}^{m}=-\frac{7}{2}$;
∴4m=4;
∴m=1;
(2)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
理由:$f(x)=\frac{2}{x}-x$,設(shè)x1>x2>0,則:
$f({x}_{1})-f({x}_{2})=\frac{2}{{x}_{1}}-{x}_{1}-\frac{2}{{x}_{2}}+{x}_{2}$
=$\frac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{{x}_{1}{x}_{2}}+({x}_{2}-{x}_{1})$
=$({x}_{2}-{x}_{1})(\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}+1)$;
∵x1>x2>0;
∴x2-x1<0,$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}+1>0$;
∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

點評 考查已知函數(shù)求值,以及單調(diào)性定義,根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程.

練習(xí)冊系列答案
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19.計算下列定積分.
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