Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD丄底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD，BC=$\frac{1}{2}$AD
（I）求證：平面PQB⊥平面PAD
（Ⅱ）若三棱錐A-BMQ的體積是四棱錐P-ABCD體積的$\frac{1}{6}$，設(shè)PM=tMC，試確定t的值．

Answer 1

分析 （I）由AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q為AD的中點(diǎn)，可得四邊形BCDQ為平行四邊形，CD∥BQ．可得：QB⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，可得BQ⊥平面PAD．即可證明平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）由PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，可得PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，可得PQ⊥平面ABCD．設(shè)PQ=h，梯形ABCD的面積為S，則S_△ABQ=$\frac{1}{3}$S.${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}Sh$，利用V_A-BQM=V_M-ABQ，即可得出．

解答 （I）證明：∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．
設(shè)PQ=h，梯形ABCD的面積為S，則S_△ABQ=$\frac{1}{3}$S．
${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}Sh$，
又設(shè)M到平面ABC的距離為h′，則V_A-BQM=V_M-ABQ=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}S{h}^{′}$，
根據(jù)題意可得：$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}S{h}^{′}$=$\frac{1}{6}×\frac{1}{3}Sh$，
${h}^{′}=\frac{1}{2}$h，故$\frac{MC}{PC}$=$\frac{{h}^{′}}{h}$=$\frac{1}{2}$，∴M為PC的中點(diǎn)，∴t=1．

點(diǎn)評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．