Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）的左焦點(diǎn)F與拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，直線x-y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求該橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D、E兩點(diǎn)，記△GFD的面積為S₁，△OED的面積為S₂，問(wèn)：是否存在直線AB，使得S₁=S₂，若存在，求直線AB的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 解：（1）通過(guò)拋物線方程可知c=1，利用點(diǎn)到直線的距離公式可知e=$\frac{|0-0+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，結(jié)合a、b、c三者之間的關(guān)系可求出a=2、b=1，進(jìn)而可得橢圓C的方程；
（2）通過(guò)假設(shè)存在直線AB使得S₁=S₂，則可設(shè)其方程為：y=k（x+1）（k≠0），并與橢圓C方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得G（$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$），利用DG⊥AB可得D（$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，0），結(jié)合△GFD～△OED可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$（{\frac{|DG|}{|OD|}）}^{2}$，聯(lián)立S₁=S₂整理得8k²+9=0，由于此方程無(wú)解推出假設(shè)不成立．

解答 解：（1）由題意，知：c=1，e=$\frac{|0-0+\frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，b=1，
∴該橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）結(jié)論：不存在直線AB，使得S₁=S₂．
理由如下：
假設(shè)存在直線AB，使得S₁=S₂，顯然直線AB不能與x、y軸垂直．
所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為：y=k（x+1）（k≠0），
聯(lián)立直線AB與橢圓C方程，消去y得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=$\frac{6k}{4{k}^{2}+3}$，
所以G（$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$），
由DG⊥AB，得：$\frac{{y}_{G}}{{x}_{G}-{x}_{D}}$×k=-1，解得：x_D=$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，即D（$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，0），
因?yàn)椤鱃FD～△OED，所以$\frac{|GF|}{|OE|}$=$\frac{|DG|}{|OD|}$，所以$\frac{|GF|}{|OE|}$•$\frac{|DG|}{|OD|}$=$（{\frac{|DG|}{|OD|}）}^{2}$，即$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$（{\frac{|DG|}{|OD|}）}^{2}$，
又因?yàn)镾₁=S₂，所以|GD|=|OD|，
所以$\sqrt{（\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}）^{2}+（\frac{3k}{4{k}^{2}+3}）^{2}}$=|$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$|，
整理得：8k²+9=0，由于此方程無(wú)解，故不存在直線AB，使得S₁=S₂．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、方程思想，考查橢圓方程、直線方程、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．