Question

18．已知拋物線y²=4x，過焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，過A，B分別作x軸，y軸垂線，垂足分別為C、D，則|AC|+|BD|的最小值為3．

Answer 1

分析 設(shè)A和B點坐標(biāo)及直線方程，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理表示出y₁=-$\frac{4}{{y}_{2}}$，|AC|+|BD|=-$\frac{4}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂＜0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可求得|AC|+|BD|的最小值．

解答 解：由題意設(shè)A（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），y₁＞0，B（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂），y₂＜0，直線AB的方程：x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4=0，
則y₁y₂=-4，y₁=-$\frac{4}{{y}_{2}}$，
則|AC|+|BD|=-$\frac{4}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂＜0，
設(shè)g（x）=-$\frac{4}{x}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$，x＜0，求導(dǎo)g′（x）=$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{2}$，
令g′（x）=0，解得：x=-2，
∴當(dāng)x＜-2時，g′（x）＜0，當(dāng)-2＜x＜0時，g′（x）＞0，
則g（x）在（-∞，-2）單調(diào)遞減，在（-2，0）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-2時，取最小值，最小值為3，
∴|AC|+|BD|的最小值為3，
故答案為：3．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性與拋物線的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．