Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{{e}^{2x}}$，g（x）=-2xln（1+$\frac{1}{x}$）-lnf（x）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)？如果存在，求出該零點(diǎn)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=$\frac{-2（ax+2）（x-1）}{{e}^{2x}}$，分①a=0，②a＞0，③a＜0討論其單調(diào)性．
（Ⅱ）a=0時(shí)，函數(shù)g（x）=-2xln$\frac{x+1}{x}$-ln$\frac{2x-1}{{e}^{2x}}$=-2xln（x+1）+2xlnx-ln$\frac{2x-1}{{e}^{2x}}$（x＞$\frac{1}{2}$），函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)?函數(shù)G（x）=-2xln（x+1）+2xlnx與R（x）=ln$\frac{2x-1}{{e}^{2x}}$，（x＞$\frac{1}{2}$）是否有交點(diǎn)．分別討論兩函數(shù)的單調(diào)性，畫出圖象，結(jié)合圖象求解．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=$\frac{（2ax+2）{e}^{2x}-2（a{x}^{2}+2x-1）{e}^{2x}}{{（e}^{2x}）^{2}}$=$\frac{2[-a{x}^{2}+（a-2）x+2]}{{e}^{2x}}$=$\frac{-2（ax+2）（x-1）}{{e}^{2x}}$
①a=0時(shí)，f（′（x）=2×$\frac{-2（x-1）}{{e}^{2x}}$，可得x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，
此時(shí)f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減．
②a＞0時(shí)，令f′（x）=0，x=1或x=-$\frac{2}{a}$，可得x∈（-$\frac{2}{a}$，1）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）∪（-∞，-$\frac{2}{a}$），f′（x）＜0，
此時(shí)f（x）在（-$\frac{2}{a}$，1）遞增，在（-$∞，-\frac{2}{a}$），（1，+∞）遞減．
③a＜0時(shí)，令f′（x）=0，x=1或x=-$\frac{2}{a}$，
0＞a＞-2時(shí)，-$\frac{2}{a}＞1＞0$，此時(shí)f（x）在（-∞，1），（-$\frac{2}{a}，+∞$）遞增，在（1，-$\frac{2}{a}$）遞減．
a＜-2時(shí)，1$＞-\frac{2}{a}＞0$，此時(shí)f（x）在（-∞，-$\frac{2}{a}$），（1，+∞）遞增，在（-$\frac{2}{a}$，1）遞減．
a=-2時(shí)．此時(shí)f（x）在（-∞，+∞）遞增．
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，理由如下：
a=0時(shí)，函數(shù)g（x）=-2xln$\frac{x+1}{x}$-ln$\frac{2x-1}{{e}^{2x}}$=-2xln（x+1）+2xlnx-ln$\frac{2x-1}{{e}^{2x}}$，（x＞$\frac{1}{2}$）．
函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)?函數(shù)G（x）=-2xln（x+1）+2xlnx與R（x）=ln$\frac{2x-1}{{e}^{2x}}$，（x＞$\frac{1}{2}$）是否有交點(diǎn)．
       一方面：由（Ⅰ）知y=$\frac{2x-1}{{e}^{2x}}$在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，可得R（x）=ln$\frac{2x-1}{{e}^{2x}}$，（x＞$\frac{1}{2}$）在 （$\frac{1}{2}$，1）遞增，在（1，+∞）遞減
且x→$\frac{1}{2}$，R（x）→-∞，x→+∞，R（x）→-∞，R（1）=-2＜0
      另一方面：G′（x）=2[lnx-ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$]，G″（x）=2[$\frac{1}{x（x+1）}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$]＞0在（$\frac{1}{2}，+∞$）恒成立．
∴G′（x）在（$\frac{1}{2}，+∞$）遞增，而G′（$\frac{1}{2}$）=2（-ln3+$\frac{2}{3}$）＜0，x→+∞時(shí)，G（x）→0，∴G′（x）＜0．
∴函數(shù)G（x）在（$\frac{1}{2}，+∞$）遞減，G（$\frac{1}{2}$）=-ln3＜0．
由此可以在同一坐標(biāo)系畫出兩函數(shù)，如下：
結(jié)合圖象可得，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)極值點(diǎn)，考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．