Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²，a∈R，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+（x-a）cosx-sinx，討論g（x）的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程，
（2）先求導(dǎo)，再分類討論即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²，
∴f′（x）=x²-2x，
∴k=f′（3）=9-6=3，f（3）=$\frac{1}{3}$×27-9=0，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程y=3（x-3），即3x-y-9=0
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+（x-a）cosx-sinx=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（x-a）cosx-sinx，
∴g′（x）=（x-a）（x-sinx），
令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，
①若a＞0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞a時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為g（a）=-$\frac{1}{6}$a³-sina
當(dāng)x=0時(shí)，有極大值，極大值為g（0）=-a，
②若a＜0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜a時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為g（a）=-$\frac{1}{6}$a³-sina
當(dāng)x=0時(shí)，有極小值，極小值為g（0）=-a
③當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=x（x+sinx），
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴g（x）在R上單調(diào)遞增，無極值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系，關(guān)鍵是分類討論，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題