Question

13．已知雙曲線經(jīng)過點$（{2\sqrt{2}，1}）$，其一條漸近線方程為$y=\frac{1}{2}x$，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可以設(shè)其方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=m，又由雙曲線經(jīng)過點$（{2\sqrt{2}，1}）$，將點的坐標(biāo)代入方程計算可得m的值，即可得其標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：根據(jù)題意，若雙曲線的一條漸近線方程為$y=\frac{1}{2}x$，則可以設(shè)其方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=m，（m≠0）
又由雙曲線經(jīng)過點$（{2\sqrt{2}，1}）$，
則有$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}}{4}$-1²=m，
解可得m=1，
則要求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$，
故答案為：$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用雙曲線的漸近線方程設(shè)出雙曲線的方程．