Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），對定義域內(nèi)任意的x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞1時，f（x）＞0且f（2）=1
（1）判斷f（x）奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解不等式：f（x²-1）＜3．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法和“f（xy）=f（x）+f（y）”，分別求出f（1）、f（-1）的值，再用同樣的方法判斷出f（-x）與f（x）的關(guān)系即可；
（2）設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根據(jù)題意可得f(

x2

x1

)＞0，再由x2=

x2

x1

•x1和恒等式得f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0，利用函數(shù)單調(diào)性的定義得到結(jié)論；
（3）根據(jù)f（2）=1和恒等式求出f（4）=3，將不等式轉(zhuǎn)化為f（x²-1）＜f（8），再由偶函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組求出x的范圍．

解答： 解：（1）f（x）是偶函數(shù)，證明如下：
由題意知，f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，
令x=y=-1得f（1）=f（-1）+f（-1），解得f（-1）=0，
再令y=-1得，f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）是偶函數(shù)…（4分）
（2）設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，所以f(

x2

x1

)＞0
∵f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)…（8分）
（3）由題意知，f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=3，
∴不等式f（x²-1）＜3，轉(zhuǎn)化為f（x²-1）＜f（8），
由（1）（2）知，f（x）是偶函數(shù)且在（-∞，0）上單調(diào)遞減，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴

-8＜x2-1＜8 x2-1≠0

，解得-3＜x＜3且x≠±1，
∴原不等式的解集為（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）…（12分）

點評：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，以及定義法證明函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，主要利用賦值法和恒等式求值，注意需要給x、y恰當(dāng)值，這樣才能利用條件進(jìn)行求解、證明，考查分析問題、解決問題和能力．