Question

9．已知函數(shù)f（x）=（x+a）²e^x+b（a，b∈R）在x=1處取得極小值-1
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）證明：x＞0時(shí)，f（x）＞lnx-$\frac{3}{2}$x²-2x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）=0，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的最小值，令g（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x²-2x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出g（x）_max＜f（x）_min，證出結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=[x²+2（a+1）x+a²+2a]e^x，
由已知得f′（1）=（a²+4a+3）e^x=0，
解得：a=-1或-3；
a=-3時(shí)，f′（x）=（x²-4x+3）e^x，
此時(shí)f（x）在x=1處取得極大值，不合題意，
a=-1時(shí)，f′（x）=（x²-1）e^x，
此時(shí)函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值，
故a=-1，b=-1；
（Ⅱ）∵x＞0，由（Ⅰ）得函數(shù)f（x）在（0，1）遞減，f（x）在（1，+∞）遞增，
故x＞0時(shí)，f（x）_min=f（1）=-1，
令g（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x²-2x，由g′（x）=$\frac{1-{3x}^{2}-2x}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{3}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{3}$，
故g（x）在（0，$\frac{1}{3}$）遞增，在（$\frac{1}{3}$，+∞）遞減，
故g（x）max=g（$\frac{1}{3}$）=-ln3-$\frac{5}{6}$，
∵g（x）_max＜f（x）_min，
∴f（x）＞lnx-$\frac{3}{2}$x²-2x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．