Question

20．在直角坐標系xOy上取兩個定點A₁（-$\sqrt{6}$，0），A₂（$\sqrt{6}$，0），再取兩個動點N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=2．
（Ⅰ）求直線A₁N₁與A₂N₂交點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過R（3，0）的直線與軌跡C交于P，Q，過P作PN⊥x軸且與軌跡C交于另一點N，F為軌跡C的右焦點，若$\overrightarrow{RP}$=λ$\overrightarrow{RQ}$（λ＞1），求證：$\overrightarrow{NF}$=λ$\overrightarrow{FQ}$．

Answer 1

分析 （I）由直線方程的點斜式列出A₁N₁和A₂N₂的方程，聯解并結合mn=2化簡整理得方程，再由N₁、N₂不與原點重合，可得直線A₁N₁與A₂N₂交點的軌跡C的方程；
（II）設l：x=ty+3，代入橢圓方程消去x，得（3+t²）y²+6ty+3=0，利用分析法進行證明．

解答 （I）解：依題意知直線A₁N₁的方程為：y=$\frac{m}{\sqrt{6}}$（x+$\sqrt{6}$）…①；
直線A₂N₂的方程為：y=-$\frac{n}{\sqrt{6}}$（x-$\sqrt{6}$）…②
設Q（x，y）是直線A₁N₁與A₂N₂交點，①、②相乘，得y²=-$\frac{mn}{6}$（x²-6）
由mn=2整理得：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1
∵N₁、N₂不與原點重合，可得點A₁，A₂不在軌跡M上，
∴軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x≠±$\sqrt{6}$）．
（Ⅱ）證明：設l：x=ty+3，代入橢圓方程消去x，得（3+t²）y²+6ty+3=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₁，-y₁），可得y₁+y₂=-$\frac{6t}{{t}^{2}+3}$且y₁y₂=$\frac{3}{{t}^{2}+3}$，
$\overrightarrow{RP}$=λ$\overrightarrow{RQ}$，可得（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂），∴x₁-3=λ（x₂-3），y₁=λy₂，
證明$\overrightarrow{NF}$=λ$\overrightarrow{FQ}$，只要證明（2-x₁，y₁）=λ（x₂-2，y₂），∴2-x₁=λ（x₂-2），
只要證明$\frac{{x}_{1}-3}{{x}_{2}-3}$=-$\frac{{x}_{1}-2}{{x}_{2}-2}$，只要證明2t²y₁y₂+t（y₁+y₂）=0，
由y₁+y₂=-$\frac{6t}{{t}^{2}+3}$且y₁y₂=$\frac{3}{{t}^{2}+3}$，代入可得2t²y₁y₂+t（y₁+y₂）=0，
∴$\overrightarrow{NF}$=λ$\overrightarrow{FQ}$．

點評 本題著重考查了動點軌跡的求法、橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系和一元二次方程根與系數的關系等知識，屬于中檔題．