Question

已知圓C方程（x-2）²+（y-1）²=5，設P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，B點是圓C與y軸的交點，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,直線與圓

分析：求出點B關于直線x+y+2=0的對稱點，將已知問題轉(zhuǎn)化為對稱點到圓上的最小值問題，根據(jù)圓的幾何條件，圓外的點到圓上的點的最小值等于該點到圓心的距離減去半徑．

解答： 解：圓C方程（x-2）²+（y-1）²=5，
圓心C（2，1），半徑為

5

．
B點是圓C與y軸的交點，則B（0，0）或（0，2）
若點B（0，2）關于直線x+y+2=0的對稱點為D（a，b），
則由

b-2 a =1 1 2 a+ 1 2 (2+b)+2=0

，解得

a=-4 b=-2

，即D（-4，-2），
則|PB|+|PQ|=|PD|+|PQ|≥|DQ|，
故D到圓上點Q的最短距離為|DC|-r=3

5

-

5

=2

5

，且CD：y=

1

2

x，聯(lián)立x+y+2=0解得交點P（-

4

3

，-

2

3

）．
即有|PB|+|PQ|的最小值為2

5

，P（-

4

3

，-

2

3

）；
若B（0，0），同樣的方法，可求得對稱點為A（-2，-2），AC：y=

3

4

x-

1

2

，
聯(lián)立x+y+2=0，解得交點P（-

6

7

，-

8

7

），
此時A到圓上點Q的最短距離為|AC|-r=5-

5

，
即有|PB|+|PQ|的最小值為5-

5

，P的坐標為（-

6

7

，-

8

7

）．

點評：本題考查圓的方程，考查對稱性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．