【題目】如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且.
(1)證明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)連結(jié)BM,推導(dǎo)出BC⊥BB1,AA1⊥BC,從而AA1⊥MC,進(jìn)而AA1⊥平面BCM,AA1⊥MB,推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形,從而MN∥AP,由此能證明MN∥平面ABC.
(2)推導(dǎo)出△ABA1是等腰直角三角形,設(shè)AB,則AA1=2a,BM=AM=a,推導(dǎo)出MC⊥BM,MC⊥AA1,BM⊥AA1,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),MA1,MB,MC為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值.
(1)如圖1,在三棱柱中,連結(jié),因?yàn)?/span>是矩形,
所以,因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>,,所以平面,
所以,又因?yàn)?/span>,所以是中點(diǎn),
取中點(diǎn),連結(jié),,因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),則且,
所以且,所以四邊形是平行四邊形,所以,
又因?yàn)?/span>平面,平面,所以平面.
(圖1) (圖2)
(2)因?yàn)?/span>,所以是等腰直角三角形,設(shè),
則,.在中,,所以.
在中,,所以,
由(1)知,則,,如圖2,以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,.
所以,則,,
設(shè)平面的法向量為,
則即
取得.故平面的一個(gè)法向量為,
因?yàn)槠矫?/span>的一個(gè)法向量為,
則.
因?yàn)槎娼?/span>為鈍角,
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若,函數(shù)的極大值為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若對(duì)任意的, ,在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為七檔(五級(jí)),相對(duì)應(yīng)空氣質(zhì)量的七個(gè)類(lèi)別,指數(shù)越大,說(shuō)明污染的情況越嚴(yán)重,對(duì)人體危害越大.
指數(shù) | 級(jí)別 | 類(lèi)別 | 戶外活動(dòng)建議 |
Ⅰ | 優(yōu) | 可正;顒(dòng) | |
Ⅱ | 良 | ||
Ⅲ | 輕微污染 | 易感人群癥狀有輕度加劇,健康人群出現(xiàn)刺激癥狀,心臟病和呼吸系統(tǒng)疾病患者應(yīng)減少體積消耗和戶外活動(dòng). | |
輕度污染 | |||
Ⅳ | 中度污染 | 心臟病和肺病患者癥狀顯著加劇,運(yùn)動(dòng)耐受力降低,健康人群中普遍出現(xiàn)癥狀,老年人和心臟病、肺病患者應(yīng)減少體力活動(dòng). | |
中度重污染 | |||
Ⅴ | 重污染 | 健康人運(yùn)動(dòng)耐受力降低,由明顯強(qiáng)烈癥狀,提前出現(xiàn)某些疾病,老年人和病人應(yīng)當(dāng)留在室內(nèi),避免體力消耗,一般人群應(yīng)盡量減少戶外活動(dòng). |
現(xiàn)統(tǒng)計(jì)邵陽(yáng)市市區(qū)2016年1月至11月連續(xù)60天的空氣質(zhì)量指數(shù),制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這60天中屬輕度污染的天數(shù);
(2)求這60天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值;
(3)一般地,當(dāng)空氣質(zhì)量為輕度污染或輕度污染以上時(shí)才會(huì)出現(xiàn)霧霾天氣,且此時(shí)出現(xiàn)霧霾天氣的概率為,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求在未來(lái)2天里,邵陽(yáng)市恰有1天出現(xiàn)霧霾天氣的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知在矩形中,,,平面,且.
(1)問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍時(shí),邊上能存在點(diǎn),使得?
(2)當(dāng)邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)使得時(shí),求二面角的余弦值大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,,,,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為,則的面積的最大值為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.
(1)求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)與交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有下列四個(gè)命題:
①“若a2+b2=0,則a,b全為0”的逆否命題是“若a,b全不為0,則a2+b2≠0”
②若事件A與事件B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B);
③在△ABC中,“A<B”是“sinA<sinB”成立的充要條件;
④若α、β是兩個(gè)相交平面,直線mα,則在平面β內(nèi),一定存在與直線m平行的直線.
上述命題中,其中真命題的序號(hào)是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,四邊形為菱形, , , , ,平面平面, , 為的中點(diǎn), 為平面內(nèi)任一點(diǎn).
(1)在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)是否存在直線使?如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由,如果存在,請(qǐng)說(shuō)明作法;
(2)過(guò), , 三點(diǎn)的平面將幾何體截去三棱錐,求剩余幾何體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:三棱柱中,底面是正三角形,側(cè)棱面, 是棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且.
()求證: 平面.
()求證: .
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