Question

（本題滿分18分）第一題滿分5分，第二題滿分5分，第三題滿分8分．
如圖，有一公共邊但不共面的兩個三角形ABC和A₁BC被一平面DEE₁D₁所截，若平面DEE₁D₁分別交AB,AC,A₁B,A₁C于點D,E,D₁,E₁。
（1）討論這三條交線ED,CB, E₁ D₁的關(guān)系。
（2）當(dāng)BC//平面DEE₁D₁時,求的值;

（3）當(dāng)BC不平行平面DEE₁D₁時, 的值變化嗎？為什么？

Answer 1

（1）互相平行或三線共點。
當(dāng)BC//平面DEE₁D₁時，
平面ABC平面DEE₁D₁=ED
BC// ED,同理CB// E₁ D₁
∴ED//CB// E₁ D₁
當(dāng)BC不平行平面DEE₁D₁時,
延長ED、CB交于點H，
∴H∈EF  ∵EF平面DEE₁D₁   ∴H∈平面DEE₁D₁ 
同理H∈平面A₁BC
∴H∈平面DEE₁D₁∩平面A₁BC
即H∈E₁D₁   ∴E₁、D₁、H三點共線
∴三線共點
（2）解：∵BC//平面DEE₁D₁
且BC平面ABC，平面ABC∩平面DEE₁D₁="ED  "
∴BC∥ED，同理BC∥E₁D₁  
在△ABC中，BC∥ED
∴= 同理可得=
∴==1
（3）解：

由（1）可得，延長ED、CB、E₁D₁交于點H，
過點B作BF∥AC，BG∥A₁C    
∵BF∥AC   ∴=
同理可得=
在△HCE中，BG∥CE₁       ∴=
同理可得=
∴=====1
的值不變化，仍為1

略