Question

給出下列命題：
①若向量

OP

=α

OA

+β

OB

，且α+β=1，則A，B，P三點共線；
②若z•

.

z

+z+

.

z

=3，則復數(shù)z的對應點Z的在復平面內(nèi)的軌跡是圓；
③設f（x）=f′（1）x²+2x，則f′（2）=-6；
④曲線y=x³+3x²-5過點M（1，-1）的切線只有一條；
⑤在一個二面角的兩個面內(nèi)部都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為（0，-1，3），（2，2，4），則這個二面角的余弦值為

15

6

．其中正確命題的序號是

 

．（把你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型

分析：①將向量

OP

=α

OA

+β

OB

，且α+β=1，化為

BP

=α

BA

，由向量共線定理，即可判斷；
②設復數(shù)z=x+yi（x，y為實數(shù)），

.

z

=x-yi，將z•

.

z

+z+

.

z

=3，化簡，即可判斷軌跡；
③對f（x）=f′（1）x²+2x求導，令x=1，求出f′（1），令x=2，即可求出f′（2）；
④討論M為切點、M不是切點，求出導數(shù)，列方程求出切線的斜率，即可判斷；
⑤由空間向量的坐標運算，求出數(shù)量積和模，運用向量的夾角公式，即可求出二面角的平面角的余弦值．

解答： 解：①若向量

OP

=α

OA

+β

OB

，且α+β=1，則

OP

=α(

OA

-

OB

)+

OB

，即有

BP

=α

BA

，則A，B，P三點共線，故①對；
②設復數(shù)z=x+yi（x，y為實數(shù)），

.

z

=x-yi，則z•

.

z

+z+

.

z

=3，可化為x²+y²+2x-3=0，故復數(shù)z的對應點Z在復平面內(nèi)的軌跡是以（-1，0）為圓心，2為半徑的圓，故②對；
③由于f（x）=f′（1）x²+2x，則f′（x）=2f′（1）•x+2，f′（1）=2f′（1）+2，f′（1）=-2則f′（2）=2×（-2）×2+2=-6，故③對；
④曲線y=x³+3x²-5過點M（1，-1）的切線，若M為切點，則切線的斜率為3×1²+6=9，若M不為切點，設切點為（s，t），由于y′=3x²+6x，則3s²+6s=

t+1

s-1

，t=s³+3s²-5，解得s=-2，即切線的斜率為3×4-12=0，故切線有兩條．故④錯；
⑤設

m

=（0，-1，3），

n

=（2，2，4），則

m

•

n

=0-2+12=10，|

m

|=

10

，|

n

|=2

6

，故這個二面角的余弦值為

10

10 ×2 6

=

15

6

，故⑤對．
故答案為：①②③⑤．

點評：本題考查向量的共線與三點共線的關系、復數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、曲線的切線問題、二面角的平面角的計算，屬于基礎題，也是易錯題．