Question

11．已知正四面體ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2．
（1）求BC與AF所成的角的余弦值；
（2）BC與AD所成的角；
（3）CE與AF所成角余弦值．

Answer 1

分析 （1取BD中點(diǎn)G，則FG∥BC，∠AFE是BC與AF所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出BC與AF所成的角的余弦值．
（2）取BC中點(diǎn)P，則AP⊥BC，DP⊥BC，BC⊥平面APD，由此能求出BC與AD所成的角．
（3）取BF中點(diǎn)O，連結(jié)EO，CO，則EO∥AF，∠CEO是CE與AF所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出CE與AF所成角余弦值．

解答 解：（1）取BD中點(diǎn)G，連結(jié)AG、FG、AF，
則FG∥BC，∴∠AFE是BC與AF所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
∵AG=AF=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，F(xiàn)G=1，
∴cos∠AFE=$\frac{A{F}^{2}+F{G}^{2}-A{G}^{2}}{2AF•GF}$=$\frac{3+1-3}{2•\sqrt{3}•1}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴BC與AF所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（2）取BC中點(diǎn)P，連結(jié)AP、DP，
則AP⊥BC，DP⊥BC，且AP∩DP=P，
∴BC⊥平面APD，
又AD?平面APD，∴BC⊥AD，
∴BC與AD所成的角為90°．
（3）取BF中點(diǎn)O，連結(jié)EO，CO，則EO∥AF，
∴∠CEO是CE與AF所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵OE=$\frac{AF}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，CE=$\sqrt{3}$，CO=$\sqrt{C{F}^{2}+（\frac{BF}{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴cos∠CEO=$\frac{C{E}^{2}+O{E}^{2}-C{O}^{2}}{2•CE•OE}$=$\frac{3+\frac{3}{4}-\frac{7}{4}}{2•\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴CE與AF所成角余弦值為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．