Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足a_n+2=2a_n+1-a_n，n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；
（3）設(shè)，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N^*，均有成立？若存在，求出m的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件a_n+2=2a_n+1-a_n，可得，從而{a_n}為等差數(shù)列，利用a₁=8，a₄=2可求公差，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用10-2n≥0則n≤5，確定數(shù)列中的正數(shù)項(xiàng)，再進(jìn)行分類(lèi)討論；
（3先裂項(xiàng)求和，再根據(jù)對(duì)任意n∈N*成立，得對(duì)任意n∈N*成立，利用的最小值是，可知，從而存在最大整數(shù)m=7．
解答：解：（1）由題意，，∴{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
由題意得2=8+3d⇒d=-2，∴a_n=8-2（n-1）=10-2n
（2）若10-2n≥0則n≤5，n≤5時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=
n≥6時(shí)，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n=n²-9n+40
故
（3）∵∴
若對(duì)任意n∈N*成立，即對(duì)任意n∈N*成立，∵的最小值是，∴，∴m的最大整數(shù)值是7．
即存在最大整數(shù)m=7，使對(duì)任意n∈N*，均有
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列軛通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和及恒成立問(wèn)題，有一定的綜合性．