如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），已知點（1，e）和（e，
3
2
）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A、B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，若|AF1|-|BF2|=
6
2
，求直線AF的斜率．
（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），
點（1，e）和（e，
3
2
）都在橢圓上，
∴
1
a2
+
e2
b2
=1
e2
a2
+
3
4b2
=1
，
∵e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2
，
∴
1
a2
+
e2
b2
=
1
a2
+
1-
b2
a2
b2
=
1
a2
+
1
b2
-
1
a2
=1，解得b2=1，

∵
e2
a2
+
3
4b2
=
a2-b2
a4
+
3
4b2
=1，
∴a4-4a2+4=（a2-2）=0，解得a2=2，
∴橢圓方程為
x2
2
+y2=1．
（2）∵橢圓方程為
x2
2
+y2=1，∴F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），
又∵直線AF1與直線BF2平行，∴設AF1與BF2的方程分別為x+1=my，x-1=my．
設A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，
∴由
x12
2
+y12=1
x1+1=my1
，得（m2+2）y12-2my1-1=0．
∴y1=
m+
2m2+2
m2+2
，或y1=
m-
2m2+2
m2+2
（舍），
∴|AF1|=
m2+1
×|0-y1|=
2
(m2+1)+m
m2+1
m2+2
，①
同理|BF2|=
2
(m2+1)-m
m2+1
m2+2
，②
∵|AF1|-|BF2|=
6
2
，
∴由①②得|AF1|-|BF2|=
2m
m2+1
m2+2
=
6
2
，解得m2=2．
∵注意到m＞0，∴m=
2
．
∴直線AF1的斜率為
1
m
=
2
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

點P在直線l：y=x-1上，若存在過P的直線交拋物線y=x2于A，B兩點，且
PA
=
AB
，則稱點P為“λ點”，那么直線l上有______個“λ點”．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若θ是任意實數(shù)，則方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲線一定不是（　　）
A．圓B．雙曲線C．直線D．拋物線

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直線L：y=kx+1與橢圓C：ax2+y2=2（a＞1）交于A、B兩點，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標原點）．
（1）若k=1，且四邊形OAPB為矩形，求a的值；
（2）若a=2，當k變化時（k∈R），求點P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點，A，B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為
1
2
．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l1：x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）過點A的直線l2與圓M交于PQ兩點，且
MP
•
MQ
=-2，求直線l2的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，直線l：y=
3
(x-4)關于直線l1：y=
b
a
x對稱的直線l′與x軸平行．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若點M（4，0）到雙曲線上的點P的最小距離等于1，求雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直線PA，PB相交于點P，且它們的斜率之積為-
3
4
．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）試判斷以PB為直徑的圓與圓x2+y2=4的位置關系，并說明理由；
（3）直線PM與橢圓的另一個交點為N，求△OPN面積的最大值（O為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在以點O為圓心，AB為直徑的半圓中，D為半圓弧的中心，P為半圓弧上一點，且AB=4，∠POB=30°，雙曲線C以A，B為焦點且經(jīng)過點P．
（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担箅p曲線C的方程；
（2）設過點D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，若△OEF的面積不小于2
2
，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，橢圓C的上、下頂點分別為A1，A2，左、右頂點分別為B1，B2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．原點到直線A2B2的距離為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點且斜率為
1
2
的直線l，與橢圓交于E，F(xiàn)點，試判斷∠EF2F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；
（3）P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2，分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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