Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-a+1（a＞0且a≠1），將函數(shù)f（x）的圖象向下平移1個單位，再向左平移a個單位后得到函數(shù)g（x），設函數(shù)g（x）的反函數(shù)為h（x），
（1）求函數(shù)h（x）的解析式；
（2）判斷并證明函數(shù)y=h（

x+1

x-1

）的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)y=h（

x+1

x-1

）在區(qū)間（1，+∞）上的單調性，并用單調性的定義加以證明．

Answer 1

考點：反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用“平移變換”可得g（x）=a^x，于是函數(shù)g（x）的反函數(shù)為h（x）=log_ax．
（2）函數(shù)y=h（

x+1

x-1

）=loga

x+1

x-1

，可得u（t）=loga

t+1

t-1

是奇函數(shù)．證明u（-t）=-u（t）．
（3）函數(shù)y=h（

x+1

x-1

）=u（x）=loga

x+1

x-1

，可得當a＞1時，在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；當0＜a＜1時，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．利用函數(shù)單調性的定義即可證明．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a^x-a+1（a＞0且a≠1），將函數(shù)f（x）的圖象向下平移1個單位，再向左平移a個單位后得到函數(shù)g（x），∴g（x）=a^x，
∵函數(shù)g（x）的反函數(shù)為h（x），∴h（x）=log_ax．
（2）函數(shù)y=h（

x+1

x-1

）=loga

x+1

x-1

，可得u（t）=loga

t+1

t-1

是奇函數(shù)．
由

t+1

t-1

＞0，解得t＞1或t＜-1，因此其定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）關于原點對稱．
u（-t）=loga

-t+1

-t-1

=loga

t-1

t+1

=-u（t），
∴函數(shù)u（t）是奇函數(shù)．
（3）函數(shù)y=h（

x+1

x-1

）=u（x）=loga

x+1

x-1

，
當a＞1時，在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；當0＜a＜1時，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
證明：當a＞1時，在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．
設1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=loga

x1+1

x1-1

-loga

x2+1

x2-1

=loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

，
∵（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=2（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞log_a1=0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴當a＞1時，在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理可證：當0＜a＜1時，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了“平移變換”、函數(shù)的奇偶性與單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．