Question

已知函數f（x）=

x+2c，0＜x＜c log 1 2 x+2，c≤x＜1

，且f（（1-c）²）=

5

4

，則關于x的不等式f（x）＜log

1

2

（cx）+x的解集為

 

．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,分段函數的應用

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：根據函數f（x）的解析式，得出0＜c＜1；
討論（1-c）²與c的大小，利用f（（1-c）²）=

5

4

，求出c的值，
化簡不等式f（x）＜log

1

2

（cx）+x，求出解集來．

解答： 解：∵函數f（x）=

x+2c，0＜x＜c log 1 2 x+2，c≤x＜1

，
∴0＜c＜1；
令（1-c）²=c，解得c=

3- 5

2

，或c=

3+ 5

2

（應舍去）；
當0＜c≤

3- 5

2

時，1＞（1-c）²≥c，
∴f（（1-c）²）=log

1

2

（1-c）²+2=

5

4

，
即log

1

2

（1-c）²=-

3

4

，
∴（1-c）²=(

1

2

)-

3

4

，
解得c=1-2

3

8

（＜0應舍去），或c=1+2

3

8

（＞2應舍去）；
當c＞

3- 5

2

時，0＜（1-c）²＜c，
∴f（（1-c）²）=（1-c）²+2c=

5

4

，
即1+c²=

5

4

，
∴c²=

1

4

，
解得c=

1

2

，或c=-

1

2

（應舍去）；
∴關于x的不等式f（x）＜log

1

2

（cx）+x可化為
x+1＜log

1

2

（

1

2

x）+x，
即log

1

2

（

1

2

x）＞1，
∴0＜

1

2

x＜

1

2

，
∴0＜x＜1；
∴不等式的解集為（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點評：本題考查了分段函數的應用問題，也考查了不等式的解法與應用問題，是綜合性題目．