Question

15．已知n=$\int_0^3{（{2x-1}）dx}$，則${（{\frac{3}{{\sqrt{x}}}-\root{3}{x}}）^n}$的展開式中x²的系數(shù)為1．

Answer 1

分析 利用微積分基本定理可得n=$\int_0^3{（{2x-1}）dx}$=$（{x}^{2}-x）{|}_{0}^{3}$=6，利用${（{\frac{3}{{\sqrt{x}}}-\root{3}{x}}）^n}$的展開式中的通項公式：T_k+1=（-1）^k•3^6-k•${∁}_{6}^{k}$${x}^{\frac{5k}{6}-3}$，令$\frac{5k}{6}$-3=2，解得k即可得出．

解答 解：n=$\int_0^3{（{2x-1}）dx}$=$（{x}^{2}-x）{|}_{0}^{3}$=6，
則${（{\frac{3}{{\sqrt{x}}}-\root{3}{x}}）^n}$的展開式中的通項公式：T_k+1=${∁}_{6}^{k}（\frac{3}{\sqrt{x}}）^{6-k}（-\root{3}{x}）^{k}$=（-1）^k•3^6-k•${∁}_{6}^{k}$${x}^{\frac{5k}{6}-3}$，
令$\frac{5k}{6}$-3=2，解得k=6．
∴x²的系數(shù)=$（-1）^{6}×{3}^{0}•{∁}_{6}^{6}$=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用、微積分基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．