Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=2，a_n+1=S_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=2，a_n+1=S_n+2（n∈N^*），a_n=S_n-1+2（n≥2），相減利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅱ）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=2，a_n+1=S_n+2（n∈N^*），①
a_n=S_n-1+2（n≥2），②…（2分）
①-②，得$2{a_n}={a_{n+1}}⇒\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$（n≥2）．…（4分）
又由a₂=S₁+2=4，得$\frac{a_2}{a_1}=2$．…（5分）
所以$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$（n≥1），數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故${a_n}={2^n}$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得${T_n}=1×2+2×{2^2}+3×{3^3}+…+n×{2^n}$，③
2T_n=1×2²+2×3³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，④…（8分）
③-④，得$-{T_n}=2+{2^2}+{3^3}+…+{2^n}-n{2^{n+1}}$．…（10分）
所以${T_n}=2+（n-1）{2^{n+1}}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．