Question

1．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，點F到直線ax+by=0的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，橢圓E的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，過點F的直線1₁交橢圓E于A，B兩點，過F作直線l₂交橢圓E于C、D兩點，且l₁⊥l₂．
（I）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）設F（-c，0），運用點到直線的距離公式和離心率公式，結合橢圓的基本量的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由橢圓方程可得焦點F坐標，討論直線l₁的斜率為0，直線l₂的斜率不存在，求得AB，CD的長，可得面積；設直線l₁的方程為y=k（x+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），代入橢圓方程，運用韋達定理和焦半徑公式，可得弦長AB，將k換為-$\frac{1}{k}$，可得CD的長，由四邊形的面積公式S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|，化簡整理，可得k的式子，運用換元法和基本不等式，即可得到S的范圍，進而得到面積的最小值．

解答 解：（I）設F（-c，0），
由點F到直線ax+by=0的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得
$\frac{|-ac|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，①
橢圓E的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$②
又a²-b²=c²，③
由①②③解得a=1，b=$\frac{1}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
則橢圓方程為x²+9y²=1；
（Ⅱ）由橢圓方程可得F（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，0），
若直線l₁的斜率為0，直線l₂的斜率不存在，
則|AB|=2a=2，
由x=-c，代入橢圓方程可得y=±$\frac{^{2}}{a}$=±$\frac{1}{9}$，即有|CD|=$\frac{2}{9}$，
可得四邊形ACBD面積為$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{9}$=$\frac{2}{9}$；
設直線l₁的斜率為k，可得方程為y=k（x+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
代入橢圓方程x²+9y²=1，可得（1+9k²）x²+12$\sqrt{2}$k²x+8k²-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{12\sqrt{2}{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$，
由橢圓的焦半徑公式可得|AB|=（a+ex₁）+（a+ex₂）=2a+e（x₁+x₂）
=2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{12\sqrt{2}{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{1+9{k}^{2}}$，
將k換為-$\frac{1}{k}$，可得|CD|=$\frac{2（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}{1+\frac{9}{{k}^{2}}}$，
則四邊形ACBD面積為S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|=2•$\frac{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}{82+9（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$，
設t=k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$（t≥2），則S=2•$\frac{2+t}{82+9t}$=2•$\frac{1}{9+\frac{64}{2+t}}$，
由t≥2可得2+t≥4，0＜$\frac{64}{2+t}$≤16，即有
$\frac{1}{25}$≤$\frac{1}{9+\frac{64}{2+t}}$＜$\frac{1}{9}$，
則$\frac{2}{25}$≤S＜$\frac{2}{9}$．
綜上可得，$\frac{2}{25}$≤S≤$\frac{2}{9}$．
則當直線l₁的斜率為±1時，四邊形ACBD的面積的最小值為$\frac{2}{25}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查直線和橢圓相交弦長的求法，注意聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和焦半徑公式，考查基本不等式和不等式的性質的運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．