(本小題滿分14分)
如圖5所示,在三棱錐
中,
,平面
平面
,
于點
,
,
,
.
(1)證明△
為直角三角形;
(2)求直線
與平面
所成角的正弦值
(1)證明1:因為平面
平面
,平面
平面
,
平面
,
,
所以
平面
.
記
邊上的中點為
,在△
中,
,所以
.
因為
,
,所以
.
因為
,所以△
為直角三角形.
因為
,
,
所以
.
連接
,在
△
中,因為
,
,
所以
.
因為
平面
,
平面
,所以
.
在
△
中,因為
,
,
所以
.
在
中,因為
,
,
,
所以
.
所以
為直角三角形.
證明2:因為平面
平面
,平面
平面
,
平面
,
,
所以
平面
.
記
邊上的中點為
,在△
中,因為
,所以
.
因為
,
,所以
.
連接
,在
△
中,因為
,
,
,
所以
.
在△
中,因為
,
,
,
所以
,所以
.
因為
平面
,
平面
,
所以
.
因為
,所以
平面
.
因為
平面
,所以
.
所以
為直角三角形.
(2)解法1:過點
作平面
的垂線,垂足為
,連
,
則
為直線
與平面
所成的角.
由(1)知,△
的面積
.
因為
,所以
.
由(1)知
為直角三角形,
,
,
所以△
的面積
.
因為三棱錐
與三棱錐
的體積相等,即
,
即
,所以
.
在
△
中,因為
,
,
所以
.
因為
.
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
解法2:過點
作
,設(shè)
,
則
與平面
所成的角等于
與平面
所成的角.
由(1)知
,
,且
,
所以
平面
.
因為
平面
,
所以平面
平面
.
過點
作
于點
,連接
,
則
平面
.
所以
為直線
與平面
所成的角.
在
△
中,因為
,
,
所以
.
因為
,所以
,即
,所以
.
由(1)知
,
,且
,
所以
.
因為
,
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
解法3:延長
至點
,使得
,連接
、
,
在△
中,
,
所以
,即
.
在△
中,因為
,
,
,
所以
,
所以
.
因為
,
所以
平面
.
過點
作
于點
,
因為
平面
,
所以
.
因為
,
所以
平面
.
所以
為直線
與平面
所成的角.
由(1)知,
,
所以
.
在△
中,點
、
分別為邊
、
的中點,
所以
.
在△
中,
,
,
,
所以
,即
.
因為
.
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
解法4:以點
為坐標原點,以
,
所在的直線分別為
軸,
軸建立如圖的空間直角坐標系
,
則
,
,
,
.
于是
,
,
.
設(shè)平面
的法向量為
,
則
即
取
,則
,
.
所以平面
的一個法向量為
.
設(shè)直線
與平面
所成的角為
,
則
.
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
若第(1)、(2)問都用向量法求解,給分如下:
(1)以點
為坐標原點,以
,
所在的直線分別為
軸,
軸建立如圖的空間直角坐標系
,
則
,
,
.
于是
,
.
因為
,
所以
.
所以
.
所以
為直角三角形.
(2)由(1)可得,
.
于是
,
,
.
設(shè)平面
的法向量為
,
則
即
取
,則
,
.
所以平面
的一個法向量為
.
設(shè)直線
與平面
所成的角為
,
則
.
所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
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如圖,四棱錐
的底面
為矩形,且
,
,
,(Ⅰ)平面
與平面
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與平面
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如圖,在正方體
中,點
是
的中點.
(1) 求
與
所成的角的余弦值;
(2) 求直線
與平面
所成的角的余弦值.
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,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點.
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