Question

6．如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BE⊥CE，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點．
（I）求證：GF∥平面ADE；
（II）求GF與平面ABE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AE的中點H，連接HG，HD，由G是BE的中點，F(xiàn)是CD中點，推導出四邊形HGFD是平行四邊形，從而GF∥DH，由此能證明GF∥平面ADE．
（II）過B作BQ∥EC，以D為原點，BE、BQ、BA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出GF與平面ABE所成角的正切值．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，取AE的中點H，連接HG，HD，又G是BE的中點，
∴GH∥AB，且GH=$\frac{1}{2}$AB，
又F是CD中點，∴DF=$\frac{1}{2}$CD，
由四邊形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB=CD，
∴GH∥DF，且GH=DF．∴四邊形HGFD是平行四邊形，
∴GF∥DH，又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
∴GF∥平面ADE．
解：（II）如圖，在平面BEC內，過B作BQ∥EC，
∵BE⊥CE，∴BQ⊥BE，
又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，
以D為原點，BE、BQ、BA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F(xiàn)（2，2，1），G（1，0，0），
$\overrightarrow{GF}$=（1，2，1），平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設GF與平面ABE所成角的平面角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{GF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$，∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{6}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{2}{\sqrt{6}}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}$=$\sqrt{2}$．
∴GF與平面ABE所成角的正切值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．