Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）²+（ln x²-2a）²，其中x＞0，a∈R，存在x₀使得f（x₀）≤b成立，則實數(shù)b的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． 1

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化條件為：點P在曲線y=2ln x上，點Q在直線y=2x上，問題轉(zhuǎn)化為直線上的點到曲線上的點的距離的最小值，利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化求解直線與曲線之間最小的距離，通過存在x₀使得f（x₀）≤b，推出f（x）_min≤b，求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）可以看作動點P（x，ln x²）與點Q（a，2a）的距離的平方，點P在曲線y=2ln x上，點Q在直線y=2x上，問題轉(zhuǎn)化為直線上的點到曲線上的點的距離的最小值，由y=2ln x求導(dǎo)可得y′=$\frac{2}{x}$，令y′=2，解得x=1，此時y=2ln 1=0，則M（1，0），所以點M（1，0）到直線y=2x的距離d=$\frac{2}{\sqrt{22+（-1）2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$即為直線與曲線之間最小的距離，故f（x）_min=d²=$\frac{4}{5}$．
由于存在x₀使得f（x₀）≤b，則f（x）_min≤b，即b≥$\frac{4}{5}$，
故選：C．

點評 本題考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，曲線與方程的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的最值的求法，難度比較大．