Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=x（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{x+2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A_n為函數(shù)y=f（x）圖象上橫坐標(biāo)為n（n∈N^*）的點(diǎn)，向量$\overrightarrow{O{A_n}}$與向量$\overrightarrow i$=（1，0）的夾角為α_n，則滿足tanα₁+tanα₂+…+tanα_n＜$\frac{5}{4}$的最大整數(shù)n的值為2．

Answer 1

分析 由題意，$\overline{O{A_n}}=（{n，n{{（{\frac{1}{2}}）}^n}+\frac{1}{n+2}}）$，$tan{α_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}+\frac{1}{n（n+2）}$，代入tanα₁+tanα₂+…+tanα_n＜$\frac{5}{4}$，構(gòu)造函數(shù)，判斷出符合條件的最大整數(shù)n的值

解答 解：$\overline{O{A_n}}=（{n，n{{（{\frac{1}{2}}）}^n}+\frac{1}{n+2}}）$，$tan{α_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}+\frac{1}{n（n+2）}$，
∴$tan{α_1}+tan{α_2}+…tan{α_n}=\frac{7}{4}-\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2}（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}}）＜\frac{5}{4}$
即$\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}}）＞\frac{1}{2}$，
函數(shù)$g（n）=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2}（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}}），（n∈{N^*}）$為減函數(shù)，
$g（1）=\frac{11}{12}＞\frac{1}{2}$，$g（2）=\frac{13}{24}＞\frac{1}{2}$，$g（3）=\frac{7}{20}＜\frac{1}{2}$，
故最大整數(shù)n的值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了由向量求夾角，數(shù)列的求和，不等式，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題得出tanθ_n的表達(dá)式，熟練掌握數(shù)列求和的技巧也是解題的關(guān)鍵．