Question

（2013•閘北區(qū)二模）設(shè)

OA

=(x，a-x)，

OB

=(x，2)，x∈[1，2），且

OA

⊥

OB

，則函數(shù)f(x)=loga|

1

a

x-1|的最大值為

0

．

Answer 1

分析：先根據(jù)數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，得出x與a的關(guān)系式，再將其代入函數(shù)f（x）的解析式，化簡后畫出函數(shù)的簡圖，數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值．

解答：解：∵

OA

=(x，a-x)，

OB

=(x，2)，且

OA

⊥

OB

，
∴x²+2（a-x）=0，
∴a=

2x-x2

2

，x∈[1，2），
則函數(shù)f(x)=loga|

1

a

x-1|=log

2x-x2

2

|

2x

2x-x2

-1|=log

2x-x2

2

x

2-x

=log

x(2-x)

2

x

2-x

=

lg x 2-x

lg x(2-x) 2

=

lgx-lg(2-x)

lgx+lg(2-x)-lg2

，
故f（x）=

lgx-lg(2-x)

lgx+lg(2-x)-lg2

，x∈[1，2），
作出其函數(shù)的圖象，如圖所示．
由圖可得，當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)=loga|

1

a

x-1|的最大值為0．
故答案為：0．

點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．